En électronique, la notion de bruit est directement reliée à des fluctuations aléatoires de l’amplitude et de la fréquence d’un phénomène vibratoire. En téléphonie mobile où la capacité de recevoir des signaux de très faible puissance revêt une importance primordiale pour des communications longue distance depuis la cellule de base, il est nécessaire de ne pas détériorer les signaux reçus en ajoutant du bruit lié aux composants électroniques internes.
En effet, à température ambiante, tout composant passif ou actif génère du bruit. Il est alors nécessaire de quantifier et de modéliser ces sources de bruit afin d'améliorer les performances des dispositifs notamment lorsque ceux-ci travaillent à des niveaux de puissance faibles.
L'étude du bruit est donc une discipline qui permet de mieux appréhender le fonctionnement des dispositifs notamment leurs comportements (par ex : en fréquence) ainsi que leurs qualités (par ex : amplificateurs faible bruit).
 Théorie
La loi binomiale
La loi binomiale est la probabilité pour qu'un événement se produise x fois sur N expériences. Elle est appelée loi de probabilités discrètes ou encore loi de Bernoulli. Cette loi s'écrit :
p est la probabilité de réussite. q est la probabilité d'échec et q=1-p.
 .
Propriétés :
Moyenne : µ=N∙p
Variance : s²=N∙p∙q
La loi normale
L'équation de la loi de Gauss-Laplace ou loi normale s'écrit :
La représentation de la loi normale est illustrée à la figure 1.
Propriétés :
Moyenne : µ
Variance : s²
Figure 1 : Représentation d'une variable aléatoire gaussienne µ=0, s²=1
La loi de Poisson
La loi de poisson s'écrit : 
Lorsque N tend vers ∞ et p tend vers 0, N∙p tend vers la valeur λ.
Propriétés :
moyenne : µ = λ
variance : s² = λ
Les signaux aléatoires
Concernant le bruit, l'ensemble de ces signaux aléatoires est de nature non déterministe et non reproductive. Sur k périodes Tk suffisamment longues, un signal aléatoire x(t) a plusieurs réalisations possibles qui sont notées xk(t). Mathématiquement, l’ensemble de ces réalisations seront décrites par la variable aléatoire X(t). En d'autres termes, xk(t) symbolise la k-ième valeur du signal X à l'instant t. xk(t) est, par contre, une fonction certaine en fonction du temps. À l'instant t0, X(t0) a une densité de probabilité d'amplitude fX(t0)  . La variable aléatoire est stationnaire lorsque f(X(t+Δt))=f(X(t)). Dans l'étude statistique des signaux aléatoires, deux concepts essentiels sont introduits dans les calculs : la valeur moyenne statistique et la variance du signal.
La valeur moyenne statistique ou l’espérance mathématique de X s’obtient par :
La variance est définie à partir de :
σ(X) correspond à l'écart type de X. En terme d'espérance mathématique, l'équation se traduit par :
E(X2) est la puissance instantanée de X. Les signaux aléatoires électroniques sont supposés correspondre à un processus gaussien centré. Par conséquent,  .
La corrélation entre deux variables aléatoires X et Y est définie par :
Si  , les deux variables aléatoires ne sont pas corrélées. Sinon, leur coefficient de corrélation s'exprime par :
|c|≤1. Le cas où c=1 correspond à une corrélation totale entre les deux signaux.
Avant d'introduire la notion de densité spectrale, rappelons que la fonction d'autocorrélation d'une variable aléatoire d'un processus aléatoire stationnaire s'écrit :
Cette fonction est indépendante de t et ne dépend que de τ. Le symbole * correspond à la forme complexe conjuguée. Si τ=0, E(X²(t))= ↔ la puissance de la valeur efficace vraie du bruit.
Le paragraphe suivant introduit la notion de densité spectrale de puissance ou de spectre de puissance du signal à partir de l'expression de la fonction d'autocorrélation définie en .
La densité spectrale de puissance
Si un signal aléatoire est un processus gaussien centré ou à valeur moyenne définie, et que sa fonction d'autocorrélation est stationnaire dans le temps, celui-ci peut être défini par sa densité spectrale de puissance :
Les propriétés de la densité spectrale de puissance sont :
- SX(f) est un réel positif.
- SX(f) a pour dimension : [unité de X]²·Hz-1.
- La fonction d'autocorrélation peut s'obtenir à partir de la densité spectrale par le théorème d'inversion :
 .
La couleur du bruit
Les différentes formes de spectre du signal aléatoire peuvent être classées selon leur dépendance en fonction de la fréquence. En effet, par analogie avec le spectre de la lumière visible, en fonction de la longueur d'onde, les différents types de bruit sont assimilés à une couleur.
Les bruits blancs
Lorsque la densité spectrale de puissance d'une source de bruit est indépendante de la fréquence alors le signal aléatoire est appelé bruit blanc. Dans ce cas,  où C est une constante et δ(τ) est la fonction de Dirac. La densité spectrale est constante en fonction de f. Elle s'exprime par  . En réalité, le bruit blanc n'existe pas, mais le spectre d'une source de bruit peut être blanc sur une grande plage de fréquence donnée.
Les bruits colorés
Dans le cas où la densité spectrale de puissance n'est pas constante en fonction de la fréquence, le signal aléatoire est alors appelé bruit coloré. Pour cette représentation spectrale, trois principaux types de bruit coloré se distinguent de par leur spectre : le bruit rose, le bruit brun et les bruits à spectre lorentzien.
La densité spectrale de puissance d'un bruit rose, dont l'expression est donnée en , est fonction de l'inverse de la fréquence. Ce bruit est dominant dans les basses fréquences comme il est indiqué à la figure 2.
Le spectre d'un bruit brun est inversement proportionnel au carré de la fréquence.
Un signal présentant un spectre de type lorentzien (en bleu sur la figure 2) signifie que sa densité spectrale de puissance présente un plateau jusqu'à une fréquence de coupure  . Au delà de cette fréquence, la densité spectrale décroît en 1/f2.
 
Figure 2 : Différentes représentations de densités spectrales du bruit.
Les sources de bruit
À partir de l'analogie avec le spectre de la lumière, les sources de bruit sont classées selon la représentation de leur densité spectrale en fonction de la fréquence. Pour chaque classe de bruit, un ou plusieurs phénomènes physiques sont à l'origine de ces signaux aléatoires. Ce paragraphe donne une liste des sources de bruit électronique. Les sources de bruit blanc seront d'abord étudiées, puis suivront les sources de bruit donnant une représentation spectrale en 1/f et enfin cette partie s'achèvera avec les sources de bruit à spectre lorentzien.
Le bruit thermique est la source de bruit la plus connu dans le domaine de l'électronique. Cette source de bruit est également appelée "bruit de Johnson" ou "bruit de Nyquist".
En 1928, Johnson a révélé expérimentalement l’existence dans tous les conducteurs d’une force électromotrice indépendante des conditions extérieures de polarisation mais proportionnelle à la température. Ce phénomène a été mesuré par l'intermédiaire d'un thermocouple et d'un amplificateur à tube. La même année, Nyquist donna les bases théoriques de l’étude du bruit thermique[41]. Le phénomène est attribué à l’agitation thermique des charges dans un conducteur au dessus de 0°K et en l'absence de champ électrique. Sur un intervalle de fréquence Df, la puissance moyenne transférée par les sources de bruit est :
À noter qu'avec la théorie quantique, l'expression est vraie si f <<kBT/h, où h est la constante de Planck. À partir d'une fréquence f~1 THz, le bruit thermique n'est plus blanc. En utilisant la loi de Planck, l'expression de la puissance devient :
Finalement, la valeur quadratique moyenne en tension s'écrit :
Ainsi, la densité spectrale en tension du bruit thermique s'écrit :
Ainsi, par le théorème de Thévenin, le bruit thermique se comporte comme une source de tension mise en série avec une résistance R. Par transformation Thévenin-Norton, il est possible d'obtenir la valeur efficace au carré de la source de courant associée au bruit thermique, ainsi :
avec G=1/R.  .
Exemple : Pour une résistance de 50 Ω à une température de 300 °K, la source de bruit équivalente est :
 ~8,3∙10-19 V²/Hz ou erms= ~0,9 nV/√Hz.
 ~3,3∙10-22 A²/Hz ou irms= ~18 pA/√Hz.
À partir de l'équation , la puissance moyenne transférée est de 16,6 fW soit -137,8 dB ou ‑107,8 dBm.
Le bruit thermique est fortement dépendant de la température. Dans la suite de ce rapport, la température T0 correspond à la température de référence définie par l'Institute of Radio Engineers. À l'origine, l'étude du bruit avait été introduite pour la compréhension des systèmes de réception du signal. Ainsi, l'antenne est le premier étage à générer du bruit suivant la température à laquelle elle est soumise. Celle-ci correspond à la valeur moyenne annuelle à la surface de la Terre. Ainsi, T0 a une valeur de 290 °K soit 16,85 °C. De plus, kBT0/q~0,025 eV.
Le bruit de diffusion
Le bruit de diffusion a pour origine la collision des charges avec le cristal de silicium. Dans un semi-conducteur extrinsèque, un gradient de porteur ∂n/∂x entraîne un échange de porteurs entre deux zones voisines de volume Δu du réseau cristallin. La densité spectrale relative aux charges entre ces deux régions s'exprime par :
Le premier chiffre à droite de l'égalité précédente provient de la somme des densités spectrales de sens de déplacement direct et inverse des porteurs entre les deux volumes. Le second chiffre correspond à la constante lié au calcul de la densité spectrale par la transformée de Fourrier, voir annexe I. Dn est la constante de diffusion des porteurs et nx correspond à la densité des porteurs le long de l'axe x de diffusion. La densité spectrale de bruit associée au courant électrique s'écrit :
q est la charge des porteurs. ΔS est la surface du Δ de volume perpendiculaire à l'axe x. Avec la relation d'Einstein, la mobilité des porteurs est liée avec le coefficient de diffusion.
 (55-b)
Lorsque la relation d'Einstein est valable (distribution de Maxwell), en incluant (55) dans , la formule de la densité spectrale devient :
L'expression entre parenthèse à droite de l'égalité de a pour dimension une conductance. En intégrant sur toute la longueur L du cristal, le bruit thermique de diffusion s'écrit :
L'expression précédente s'apparente à . Un gradient de porteurs dans un semi-conducteur génère du bruit thermique lié à la résistivité du matériau. S est la section du cristal et σ(x) est la conductivité du réseau. Il est également possible d'interpréter le bruit de diffusion à partir de l'étude des interactions électron-cristal. La fonction de distribution suit une loi de Poisson (voir annexe I). L'expression de la densité spectrale est calculée à l'aide de la méthode de Langevin :
τr correspond au temps de relaxation des électrons. m* est la masse effective des porteurs. La mobilité étant définie par µ=qτr/m*, l'expression s'apparente à l'expression .
En présence d'un fort champ électrique, lorsque le courant de dérive domine par rapport au courant de diffusion, alors la relation d'Einstein n'est plus valable. Dans ce cas, un autre modèle doit être utilisé. À noter également, que le bruit thermique et le bruit de diffusion sont confondus.
Le bruit de grenaille
Le bruit de grenaille ou ‛‛shot noise” a été étudié dés 1918 par Schottky. Dans une barrière de potentiel, la cathode émet une quantité de charges dont le nombre fluctue aléatoirement en fonction du temps. Ces fluctuations sont induites par la non-uniformité du flux de courant électrique au travers d'une barrière de potentiel. Ces variations sont équivalentes à une source de bruit thermique en courant. Le bruit de grenaille est donc un bruit blanc mais sur une plage de fréquence donnée comme il est indiqué à la fin de ce paragraphe.
Les courants induits par le mouvement des porteurs dans une jonction PN ou Schottky sont illustrés à la figure 3. L’expression de la densité spectrale du bruit de grenaille de cette jonction se déduit à partir des formules du courant de Shockley.
où V est le potentiel appliqué aux bornes de la jonction et Is est le courant de Shockley
Figure 3 : Flux de courant au travers d’une jonction p+-n
Le courant Is en inverse s'exprime par :
où A est l'aire de la jonction. Dp,n sont les constantes de diffusion définies en (19), de longueur caractéristique Lp,n. npo et pno sont respectivement les densités des électrons et des trous à l'équilibre.
La densité spectrale de bruit de cette jonction s'écrit alors :
En basses fréquences, l'expression peut encore se mettre sous les formes suivantes :
où g est la conductance basse fréquence de la jonction. Pour I=0, le bruit de grenaille est confondu avec le bruit thermique. Si I?Is, le bruit de grenaille égale la moitié du bruit thermique. En hautes fréquences, pour la jonction d'une diode, il faut rajouter en série le bruit thermique lié à la conductance de la jonction.
Le bruit de grenaille est un bruit blanc jusqu’à une limite fixée par le temps de transit des porteurs. Pour connaître cette limite, il faut revenir à la définition du bruit de grenaille dans une barrière de potentiel. Ce bruit a pour origine l'émission aléatoire de charges suivant une loi de Poisson (voir annexe I). Sa fonction de distribution est donnée par :
où τt correspond au temps de transit des charges. La densité spectrale de puissance définie en devient :
Au-delà d'une fréquence 1/τt, le bruit de grenaille n'est plus un bruit blanc. Pour une jonction PN, τt équivaut au temps de transit ou à la durée de vie des porteurs minoritaires suivant la longueur de la région de semi-conducteur de type opposé à ces porteurs. Ce temps se situe entre 10-12 s et 10-13 s[46] ce qui est équivalent à une fréquence de l'ordre de 100 GHz. Pour une diode Schottky, τt est le temps de transit des porteurs majoritaires.
n correspond au taux de bruit défini. 
Le bruit de génération-recombinaison
Dans le cristal de silicium, des électrons ou des trous libres sont générés et se recombinent induisant des variations du nombre de porteurs. Ces fluctuations forment le bruit de génération-recombinaison[47].
Figure 4 : Bruit de génération-recombinaison dans un semi-conducteur de type N. a) génération; b) recombinaison directe; c) piégeage; d) recombinaison par centres
Le phénomène de génération se produit soit par agitation thermique, soit par une excitation extérieure comme un fort champ électrique, voir figure 4. La recombinaison intervient soit directement entre un trou et un électron, soit par l'intermédiaire d'un centre de recombinaison. La densité de porteurs libres peut varier également par piégeage avec une impureté située dans la zone de gap.
La densité spectrale de puissance du bruit de génération-recombinaison s'exprime par[2] :
où τ est la durée de vie des porteurs et N est le nombre de porteurs qui fluctuent.  est la variance de N.
Le bruit de ‛‛flicker”
Le bruit de flicker a été mis en évidence par Johnson en 1925 et définie par Schottky en 1926. Cette source de bruit a la particularité de posséder un spectre en 1/f n avec n~1. Ainsi, le bruit de flicker se dénomme également bruit 1/f. Pour un matériau de longueur L et de résistance R soumis à une différence de potentiel V, sa densité spectrale de bruit s'écrit :
où k est une constante dépendant du matériau. La résistivité du matériau est liée à la mobilité µ et au nombre de porteurs N par :
En combinant et , seuls la mobilité et le nombre de porteurs peuvent fluctuer et intervenir dans la constante k.
Pour décrire l'origine du bruit de ‛‛flicker”, deux théories ont été avancées en considérant soit les variations du nombre de porteurs, soit les fluctuations de la mobilité. Ces deux phénomènes sont présents dans les dispositifs en même temps mais suivant leur point de fonctionnement, l'un ou l'autre principe dominera le bruit de ‛‛flicker”.
Variation de la densité des porteurs
Étant donné que le bruit 1/f est dépendant du milieu ambiant pour les semi-conducteurs, la théorie de McWhorter, développé en 1957, relie le bruit de ‛‛flicker” aux états de surface du matériau. Les expériences de McWhorter ont porté sur les effets du champ électrique sur le bruit de ‛‛flicker” dans les capacités MOS. Deux types d'états de surface ont été identifiés. Ces états se situent à l'interface semi-conducteur/oxyde et dans l'oxyde. Ces derniers contribuent à la dépendance de l'effet de champ avec la fréquence mais aussi au bruit de ‛‛flicker”. Les conséquences de ce piégeage et dé-piégeage sont la variation du nombre de porteurs libres présent dans le semi-conducteur, voir figure 4-c, mais également la modification indirecte du nombre de porteurs[44], voir figure 4-d.
En supposant que le nombre de porteurs piégé est ΔN sur une faible surface ΔS. La densité spectrale de bruit relative à ces pièges est décrite par l'équation . En remplaçant  par N0ΔS avec N0, la valeur moyenne des porteurs piégés, l'équation devient :
Sur l'ensemble du semi-conducteur, l'expression donnée en est fonction de 1/f :
où g(τ) correspond à la fonction de distribution des temps de relaxation τ en fonction de la fréquence définie sur un intervalle de deux constantes de temps τ1 et τ2.
L'expression donnée par McWhorter s'écrit alors :
La densité spectrale liée au courant est définie alors par :
où kM est une valeur dépendante de la mobilité des porteurs et du nombre de trous générés par électron piégé.
Variation de la mobilité
Le second modèle décrit en 1969 par Hooge considère que le bruit de ‛‛flicker” est lié à des effets de volume induit par les fluctuations de la mobilité. Son expression est donnée par :
αH est une constante qui dépend faiblement de la température. En développant l'expression précédente, il est possible d'obtenir une nouvelle équation tenant compte des variations lié à la mobilité. En effet :
L'équation vérifie bien la dépendance du modèle de Hooge avec la mobilité.
À un instant t, l'émission des charges est supposée indépendante des émissions précédentes et suivantes.
Tube à vide, jonction PN, diode Schottky, jonctions base-émetteur et base-collecteur d'un transistor bipolaire,…
Pour une diode à effet tunnel, la même expression que est obtenue mais par une approche différente.
Pistes d'études possibles
Etude théorique
Il est possible d’évaluer et de simuler des niveaux de bruit dans des composants actifs et d’en déduire des limites de fonctionnement. A partir de ces résultats, il sera possible d’évaluer les limites de fonctionnement d’un étage de réception d’un récepteur radiofréquences comme ceux utilisés dans les téléphones portables, les récepteurs GPS, les satellites.
Etude pratique
En pratique, il est possible d’effectuer des mesures de niveaux de bruit d’une source de bruit à base d’une diode PIN et de mettre en évidence la puissance de bruit de grenaille en fonction du courant traversant la diode. Ce travail nécessite l’utilisation d’un oscilloscope voir d’un analyseur de spectre.
Webographie
 à venir...
Bibliographie
Pour plus d'informations concernant le traitement des signaux aléatoires, le lecteur peut consulter l'ouvrage de H. Reinhard[1] ainsi que [2,3].
[40] [2,44] [46] [45] [44] [43] [42] [10,14] [3][2] [2] [2] [44] [45] [40].
À un instant t, l'émission des charges est supposée indépendante des émissions précédentes et suivantes.
Tube à vide, jonction PN, diode Schottky, jonctions base-émetteur et base-collecteur d'un transistor bipolaire,…
Pour une diode à effet tunnel, la même expression que est obtenue mais par une approche différente.
Sujet proposé par R. Daviot |
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