Introduction

On a (presque) tous eu une radiographie X, en raccourci, une « radio » avec la lettre X parce que l’on envoie au patient des rayons X. Aussi bien la radio d’une jambe cassée, celle d’une mâchoire chez le dentiste, une radio pulmonaire, etc…

Ces radios ne donnent évidemment qu’une information 2D ; lorsqu’on dispose d’une seule radio, on ne peut pas, par exemple, connaître les positions relatives de telle ou telle zone. Il est cependant possible de reconstituer la 3D, et cela d’autant plus précisément que l’on dispose d’un plus grand nombre de radios prises sous certains angles. C’est l’objectif poursuivi par la discipline qui s’appelle la tomographie.

Cette science ne fait pas que fournir des algorithmes de « reconstruction » de cette 3D ; elle a vocation à s’intéresser aussi aux aspects d’implémentation informatique, ainsi qu’aux technologies permettant de rendre opérationnel l’ensemble, sous forme de scanners.

Nous venons de décrire en quelques phrases ce que l’on peut appeler la tomographie « historique » (en anglais : CT, Computed Tomography, par référence au fait qu’il y a beaucoup de calculs pour y parvenir). En effet, pendant un certain nombre d’années, on ne disposait que de scanners X. Le reproche principal fait à ces scanners est leur nocivité : il est nécessaire d’envoyer au patient une très importante dose de rayons X. Cette nocivité est à relativiser ; elle compte peu lorsqu’il s’agit de lutter contre une « nocivité » d’un autre ordre de grandeur ; un médecin ne préconisera pas une tomographie à la légère : ce sera souvent lié à des diagnostics/traitements de cancers notamment.

Toujours est-il que d’autres types de scanners, de nocivité moindre, voire nulle, basés sur d’autres propriétés (physiques notamment), sont devenus d’usage relativement courant dans les hôpitaux. Associés, assez souvent (paramètre essentiel !) à un prix de revient global plus bas.

Il s’agit de

1. la tomographie IRM (Imagerie par Résonance Magnétique : celle qui a le plus grand avenir),
2. la tomographie par ultrasons,
3. la tomographie SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) utilisant les rayonnements béta, et enfin, celle que nous attendions tous,
4. l’imagerie TEP (Tomographie par Emission de Positons) qui va faire l’objet de tout le développement qui suit.

Pour ne pas rester prématurément sur sa faim, disons tout de suite qu’un positon est tout simplement un e+, c'est-à-dire un antiélectron qui, lui, est un e- ; l’anti-matière existe bien ! Première grande différence avec la Tomographie X, dite « tomographie par transmission » (les rayons X traversent la zone à imager), la tomographie TEP est une tomographie d’émission ; on compte sur le rayonnement émis par certaines zones pour les localiser.

Le principe de la TEP est le suivant. Un produit faiblement radioactif à brève « demi-durée de vie » (de 10 minutes à 2 heures environ) est injecté au patient (souvent un composé à base de Fluor 18). Ce produit, en une heure de temps environ, vient se fixer sur des cellules cibles (notamment celles à forte consommation de glucose, ce qui est une des caractéristiques des cellules cancéreuses). Il se désintègre en émettant un positon, lequel va parcourir à peine quelques millimètres avant de rencontrer un électron avec lequel il s’annihile, donnant naissance à une paire de photons qui partent à 180° l’un de l’autre. A partir d’ici, nous allons faire une description 2D. Nous allons nous intéresser à ce qui se passe dans un plan perpendiculaire à l’axe du patient, comme on peut le voir sur la Fig. 1 (A noter que l’on perd ainsi délibérément l’immense majorité des paires de photons). Si l’on sait reconstituer ce plan (et nous nous arrêterons à cet objectif), il suffira d’itérer le processus,  et la reconstitution 3D consistera en l’empilement en quelque sorte des reconstitutions planes.

Autrement dit, nous nous restreignons à l’étude des trajectoires de paires de photons appartenant (à peu près) au plan en question. Chaque paire de photons de ce type est collectée sur une couronne de (photo-)détecteurs (de l’ordre de la centaine, un par deux ou trois degrés). Dans le principe cela permet de savoir qu’un certain événement a eu lieu sur le (ou plutôt à faible distance du) segment que l’on peut former en joignant les deux points d’impact sur les détecteurs. Si l’on décompte un assez grand nombre d’événements, de l’ordre de dizaines de milliers, les segments se recouperont d’autant plus densément autour des zones d’émission que ces zones auront émis davantage.

Question : puisque ces paires de photons peuvent être nombreuses à arriver à peu près simultanément sur les détecteurs, quels photons sont à apparier les uns avec les autres ? Une première réponse consiste à n’apparier que les photons dont les instants d’arrivée sur les photo-détecteurs ne sont séparés que par au plus, disons, 5 nano(!)secondes ; en dessous de ce seuil, on  appariera systématiquement les photons, quitte à ce qu’ils n’aient rien à voir les uns avec les autres, ce qui est l’une des causes des incertitudes du procédé.

Arrêtons-nous un moment dans la description de la physique sous-jacente au procédé. Nous en avons assez dit pour pouvoir bâtir un programme permettant une simulation déjà hautement intéressante. Par la suite, on trouvera quelques compléments dont il sera possible de tenir compte pour que cette programmation serre de plus près la réalité, mais encore une fois, le premier niveau que nous allons voir maintenant va déjà mettre en œuvre une démarche qui n’est pas banale.

Début de la proposition de simulation

Toute la suite suppose bien sûr l’utilisation de nombres au hasard tels qu’ils sont générés par des environnements informatiques, rnd, rand, random() et consorts…

A) Phase de création des événements :

1. Générer la cartographie des sources d’émission vraisemblables, par exemple 3 zones d’inégale importance, sous forme de liste (tableau) de coordonnées de points (xk, yk), ou (xk, yk, ik) où ik représenterait une certaine propension à rayonner. Pour faire simple, on va supposer que le rayon de la couronne de détecteurs est 50 cm. Tout doit donc tenir dans un disque de centre 0 et de rayon 50.
2. A chaque instant discrétisé (la milliseconde par exemple), balayer l’ensemble des sources d’émission, et, pour chacun de ces (i,j) (tels que t(i,j) = 1), considérer ce point comme émetteur, avec une certaine probabilité, d’une paire de photons (rappelons qu’en réalité cela se passe à une faible distance mais, dans un premier temps, ce n’est pas du tout important). L’angle d’orientation du segment fait par les deux photons étant lui-même tiré au hasard.
3. On garde trace des numéros des 2 détecteurs sur lesquels les photons ont été collectés (numéros compris – par exemple – entre 0 et 179 si on a un détecteur tous les 2 degrés).
4. Puis on fait une boucle sur le nombre d’instants, en consignant à chaque fois les nouveaux résultats d’impacts dans un « grand fichier » contenant des informations spatiales et temporelles, précisant quels détecteurs ont été impactés, et à quel instant.

B) Phase de reconstruction :
On ne dispose que du « grand fichier » précédent.

1. Dans un premier temps, il est raisonnable de viser un objectif graphique, à savoir, faire tracer, dans un espace continu, tous les segments possibles. Grâce à cela, on doit pouvoir « recouper » dans les deux sens du terme,  les zones d’émission. Variante : faire uniquement tracer les points d’intersection des différents segments.
2. Dans un deuxième temps, refaire une toute autre reconstruction, ayant lieu cette fois dans un espace discrétisé représenté par un tableau t, par exemple de format 100 x 100, où chaque case t(i,j) représentera l’intensité du pixel (i,j) dans la reconstruction sur écran. Chaque fois que l’un des segments traversera l’un des 10 000 pixels, de coordonnées (i,j), on incrémentera t(i,j) d’une unité. On est ainsi plus proche des véritables reconstructions.

Fin de la proposition de simulation

L’une des questions fondamentales est liée à la nature même des détecteurs qui sont des scintillateurs où l’impact d’un photon crée une « scintillation » qui, dans un deuxième temps, est transformée en courant électrique par un système type photodiode par exemple. La technologie des détecteurs est l’un des verrous de ces systèmes. Par exemple, si l’on dispose de détecteurs réagissant dans des temps bien inférieurs à la nanoseconde, on pourra se servir de la différence d’arrivée des paires de photons sur leurs détecteurs respectifs pour estimer leurs « temps de vol » et positionner avec un bonne précision le point d’annihilation sur le segment qui les joint. Le profit sera alors double. D’une part, on appariera moins de photons de façon erronée. Et surtout, on n’affichera plus un segment mais un point. C’est cette amélioration que votre programme pourrait prendre en compte. 

Il y aurait encore bien d’autres aspects à prendre en considération, notamment ce que l’on peut appeler le « temps de refroidissement » d’un détecteur, mais cela nous emmènerait trop loin… Le seul aspect vraiment important dont nous n’avons pas parlé jusqu’ici et qui constitue le goulot d’étranglement principal en tomographie TEP est le suivant. La production d’éléments radioactifs doit être faite à immédiate proximité de leur utilisation. Ce qui explique la nécessité d’un synchrotron ; cet appareil, un gros cylindre de l’ordre de 2m de diamètre et 2m de hauteur nécessite du personnel bien expérimenté, de la sécurisation parce qu’on ne plaisante pas avec la radioactivité, etc… Voila pourquoi, essentiellement, la TEP n’est pas davantage répandue (quelques dizaines de centres en France à notre connaissance, par exemple au CERMEP à Lyon).

En guise de conclusion, situons la tomographie TEP par rapport à sa grande sœur, la tomographie X. Les images que l’on en tire (et dont votre programmation peut donner un bon aperçu), pour satisfaisantes qu’elles soient, ne pourraient lutter en finesse avec les images X de la même région. Mais là n’est pas la question. Ces images ne véhiculent pas du tout la même information. Il s’agit d’une information fonctionnelle pour la TEP qui met en évidence le métabolisme d’une région, et d’une information anatomique dans l’autre : on ne reconstitue en tomographie X que la forme des régions traversées. La TEP ne vient pas en remplacement de la tomographie X : c’est au contraire en jumelant ces deux sortes d’imagerie d’une même région d’un même individu qu’un médecin pourra poser le bon diagnostic.

Fig. 1 : Principe de la tomographie TEP
(extrait de l’article de Wikipedia).

Dernier conseil pour la route :

Si la TEP est votre TIPE, le noyau central sera de type informatique. Il faut savoir que la méthode que nous avons proposée est relativement éloignée des méthodes réellement utilisées, basées sur ce que l’on appelle la transformée de Radon, ou, davantage encore, les méthodes dites « EM ». Mais ce n’est pas important. Tout au plus, vous pouvez vous renseigner (voir livre ci-dessous) et on ne risque pas, dans ce domaine, de vous reprocher d’avoir choisi cette méthode plutôt qu’une autre. Par contre vous seriez critiquables si vous n’aviez pas acquis un minimum de culture côté détecteurs, ou si vous restiez sec sur une question élémentaire concernant ce que l’on appelle les radio-éléments ; ou encore que vous ne voyez pas pourquoi telles distances limites sont en rapport avec la vitesse de la lumière, etc… Quant à l’adéquation au thème, nous ne la commenterons pas : à vous de voir en quoi la TEP est bien dans la variabilité, la stabilité et les limites…

Bibliographie et références :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Tomographie_%C3%A0_%C3%A9mission_de_positon

Voir également l’article « PET » sur Wikipedia anglophone, relativement différent et un peu plus complet.

La référence en ligne suivante (livre « Principles of Computerized Tomographic Imaging » SIAM 2001. Auteurs : Kash & Slaney), vaut surtout pour les pages consacrées à la TEP :
http://www.slaney.org/pct/pct-toc.html

Sur la morphologie mathématique (voir Fig. 3), le cours de M. Pouliquen est à recommander :
http://www.greyc.ensicaen.fr/~mpouliqu/cours_morpho.pdf

Voir également les sites des constructeurs (Siemens et Philips notamment).

Fig. 2 : 3 zones de fixation de la radio-activité.

Fig. 3 : Les trajectoires réelles des couples de photons correspondant à la Fig. 2. S’il s’agissait de trajectoires reconstruites, un certain nombre d’entre elles ne passeraient par aucun point d’émission. Les zones d’émission peuvent être rendues beaucoup plus nettes en « érodant » tout ce qui n’a qu’un pixel de large (techniques de type « morphologie mathématique » : voir la référence dans la bibliographie)

Auteurs : Jean-Marie Becker & Catherine Mennessier