Mots-clés reliés : approximation, conditions initiales, convergence, incertitude, sensibilité,

Comment délimiter un sujet de TIPE cadrant avec ce thème que nous abrégerons - manie française - en VLS ?

D’abord, ce thème ratisse large. L’air de rien, il couvre une grande partie de l’activité scientifique, ou, a contrario, il n’écarte que les certitudes, mais y en a-t-il vraiment en ce bas-monde  ? Pratiquement toutes les branches de l’activité humaine se retrouvent couvertes, peu ou prou, par ce fameux VLS, en particulier ce qui touche aux sciences et à la technique. Nous vous proposons de mettre, tour à tour, des lunettes  « physique/chimie », « Informatique »,  « Sciences Industrielles » et enfin « Mathématiques ».

Auparavant, spécialement sur ce thème VLS, une mise en garde préliminaire est nécessaire. Il ne faut pas en rester à montrer des «outils », même (et surtout) s’ils sont mathématiquement sophistiqués (nous en reparlerons plus bas). Si vous consacrez les 20 minutes de votre exposé à l’énoncé et à la démonstration du théorème de Von Schmoll (pseudonyme bien connu) et à 7 de ses corollaires, et que vous concluez sur l’éventuelle possibilité que ces résultats puissent un jour servir à qualifier la stabilité d’un système, il est douteux que le jury puisse être satisfait.

Imaginez, par comparaison, rendant visite à un menuisier qu’il vous présente ses différents rabots, gouges, tours, etc, en détail, sans vous montrer par exemple un beau meuble qu’il a réalisé avec ces outils : vous vous poserez des questions sur son bon sens… Eh bien, voilà, pour une épreuve TIPE c’est pareil. Les outils, la partie très conceptuelle, oui, très bien, mais au service d’une certaine finalité.

C’est du côté informatique, à notre sens, qu’il y a le plus à faire, observer, et finalement rendre compte sous forme d’un TIPE. Attention, quand on a dit « informatique », on n’a pas tout dit, loin de là. C’est ce que nous allons essayer de détailler dans les paragraphes qui suivent.

Laissons de côté l’informatique théorique qui ne se prête que mal à faire un TIPE. Bien sûr, on peut décrire la convergence d’un programme comme étant la solution d’une équation au point fixe Pn+1=F(Pn), mais….

Ensuite, il y a l’informatique scientifique. Il s’est bâti, depuis 50 ans,  une discipline qui s’appelle l’« Analyse Numérique », qui étudie notamment la stabilité numérique. L’un des outils pour la mesurer, lorsqu’on peut linéariser la question étudiée, consiste à calculer le " conditionnement " de matrices associées au système. Cette notion est en rapport avec les valeurs propres de certaines de ces matrices.  Rappelons que " linéariser" un phénomène consiste à le ramener, grosso modo, à la résolution d’un système d’équations linéaires. Là encore, c’est une question de mesure: ne pas s’embarquer  dans de grandes considérations trouvées dans un chapitre de cours portant le titre « stabilité numérique ». Le faire plutôt avec ses propres exemples.

Et puis, il y a tout le reste de l’informatique, celle qui est au service des autres disciplines, notamment en ce qui concerne les simulations. A la base des simulations, il y a la toute petite fonction « random » : on ne dira jamais assez qu’elle est sous-employée, ne serait-ce que pour bâtir des conjectures (et non des conjonctures). Un exemple parmi cent, la simulation du trafic routier avec toutes sortes d’événements aléatoires. Il y a aussi l’informatique dans son versant algorithmique : un des domaines d’application les plus fascinants est le traitement de l’image : est-ce que, par exemple en itérant (c’est-à-dire en appliquant plusieurs fois) le même traitement sur une image, on finit par converger vers ce que l’on veut (segmentation idéale de l’image en deux ou trois ou … classes). Voyez par exemple la très belle théorie récente des « graph cuts ».

Après avoir balayé l’informatique, venons-en à la Physique. Là, il y a la problématique de l’expérience vis-à-vis de la théorie, si théorie il y a. Les questions de physique (ou chimie d’ailleurs) aux concours, assez fortement mathématisées ne font pas nécessairement bon ménage avec celles qui font un bon TIPE. Ne pas fuir un domaine TIPEisable (néologisme au stade néonatal) sous prétexte qu’il n’y a pas suffisamment de théorie pour en rendre compte, pas assez d’équations aux dérivées partielles à montrer ( !). C’est au contraire là que vous pourrez le mieux dialectiser (que mon défunt prof. de philo me pardonne !) : je fais des expériences, je bâtis une petite théorie qui en rend compte, je retourne à de nouvelles expériences pour confirmer ou invalider la dite théorie, etc…On ne dira jamais suffisamment qu’il est hyper bien vu de présenter comme TIPE sa propre expérience, faite avec des bouts de ficelles (enfin… pas trop quand même, des bouts de ficelle du laboratoire de votre lycée, quoi). Et d’y associer une analyse des causes d’erreurs, en les hiérarchisant si possible (exemple : « la cause principale de mes erreurs provient des frottements sur l’axe ; après avoir à peu près éliminé ces frottements, je me suis aperçu d’une deuxième cause d’erreur, environ 10 fois plus faible, dûe au fait que l’expérience n’a pas lieu sous vide, etc… »).

Du côté des Sciences Industrielles, il y a de beaux TIPE possibles reliés à la stabilité des systèmes ; la règle des pôles à partie réelle négative (à moins qu’on ne préfère les avoir intérieurs au disque unité lorsqu’on a affaire à de l’information échantillonnée) peut être illustrée par de très nombreux exemples utilisant ou non la Transformée de Laplace. N’hésitez pas à demander à votre professeur, surtout dans ce domaine-là, où vous pourrez analyser, simuler des systèmes réels. Ne pas oublier que l’épreuve TIPE teste aussi vos qualités de futur ingénieur, même si vous ne vous êtes pas encore vraiment mis dans cette peau-là. Et parmi ces qualités, en plus de tenir la route scientifiquement, on vous demande du bon sens, du sens de l’observation, la faculté de trouver des solutions aux problèmes posés (« proposer 5 solutions, en mettre deux en œuvre et faire aboutir l’un des ces deux-là»)… 

Terminons par les Mathématiques, reine et servante des sciences, dit-on depuis longtemps. Il  faut reconnaître que le langage mathématique est … royal. Il a encore fait ses preuves dans le domaine VLS : les mathématiques dont on a fait état plus haut (valeurs propres, parties réelles de nombres complexes, etc…) ne sont que la partie émergée de l’iceberg. Il y a beaucoup d’autres choses, et du très théorique. Une première analyse (c’est le cas de le dire) consisterait à s’intéresser à l’une des mesures les plus puissantes de la variabilité, à savoir la dérivée, et à ses  nombreuses généralisations, parfois très abstraites. Mais, en repensant à notre menuisier de tout à l’heure, si vous dites « je vais vous présenter la dérivée au sens de Gâteaux (si, si, cela existe !) » sans ajouter aucune motivation, sans prendre d’exemple significatif, vous allez droit dans le mur.

On pourrait multiplier de tels exemples. Si vous vadrouillez sur le Net, vous ne manquerez pas de remarquer des tas d’articles très théoriques touchant à la question VLS. C’est le fruit du travail de chercheurs appartenant à des laboratoires à objectif « amont » comme on dit parfois, ou bien de recherche de « matheux de service », souvent très utiles dans des laboratoires pluridisciplinaires. Dans tous les cas, et sans diminuer le mérite de ces recherches qui trouveront peut être des applications dans le futur, nous allons nous répéter en disant que ce type d’articles ne va que très rarement conduire à de bons TIPE, car il leur manquera le volet applicatif.

Mathématiques servantes des sciences ? Oui, tout autant, par le pont qu’elles jettent entre disciplines très diverses, unifiant langage et notations, permettant la « fertilisation croisée » entre horizons applicatifs très divers. Un très bon cocktail consiste à coupler Mathématiques et Informatique (notamment sous l’angle « simulations » ; voir le petit couplet sur la fonction « random » ci-dessus).

Par contre, et juste avant de conclure, se méfier des effets de mode : prenons l’exemple de l’ « effet papillon », une expression qui a fait fortune pour dire que dans le domaine météorologique notamment, tout est si instable que le simple battement d’ailes d’un papillon dans un coin de la Terre (ronde par ailleurs) peut déclencher un ouragan quelques semaines plus tard dans une région… On a l’impression que cela une illustration parfaite de la variabilité météorologique alors que c’est une tournure on ne peut plus journalistique, donc invérifiable scientifiquement, donc très critiquable…

En guise de conclusion,  si nous avons insisté sur le rattachement de votre TIPE à l’une des disciplines du programme, c’est à la fois pour rendre accessible notre propos et pour donner des garde-fous. Bien sûr, il y a des TIPE sur le thème VLS qui semblent ne pas se rattacher de but en blanc à l’une des disciplines mentionnées, mais, en creusant un peu, on s’aperçoit que le rattachement existe presqu’automatiquement. Exemple, vous êtes un passionné de musique, donc de son, votre TIPE aura une forte composante «  Traitement du Signal » utilisant par exemple l’échantillonnage avec le théorème de Shannon et sa relation d’incertitude. Eh bien, même dans ce cas, ce TIPE sera aisément « ancrable » dans deux disciplines du programme : on retrouvera la physique dont l’acoustique est l’une des branches, et les mathématiques avec la « Transformée de Fourier », présentant de fortes analogies techniques avec la Transformée de Laplace d’ailleurs.