Le type de matériau, sa température, ses dimensions et son dopage dans le cas de matériaux semi-conducteurs engendrent des interactions mécaniques et électromagnétiques entre les charges et le réseau cristallin. La conséquence est la modification du libre parcours moyen Л, de ces charges. Ainsi, dans la connaissance de la conductivité thermique d'un solide, la difficulté est de déterminer les interactions qui limitent Л de tous les porteurs.
Shanks a montré que la contribution des photons sur la conductivité thermique était de l'ordre de 0,6% pour le silicium à 600 °K. Glassbrenner a indiqué que la contribution magnétique sur k était négligeable. Ce résultat a été rapporté également par Steele.
Théorie
Les études sur la conductivité thermique se basent sur l'évolution du temps de relaxation τ des porteurs. En effet, τ est relié à Л par τ = Л /v. L'équation devient alors :
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La constante de temps globale d'un cristal τc-1 correspond à la somme de l'ensemble des constantes de temps dépendantes de la température et du spectre en fréquence des oscillations du cristal avec lesquelles les particules interagissent. τc-1=Ss τs-1.
Voici une liste non exhaustive d'interactions possibles dans un cristal :
- Phonons/phonons : processus 3-phonons normal – processus N – a).
- Phonons/phonons : processus 3-phonons Umklapp – processus U – b).
- Phonons/phonons : processus 4-phonons (non représenté).
- Électrons/électrons – c).
- Phonons ou électrons / impuretés dans le cristal et isotopes – d).
- Phonons/bords du cristal – e).
- Phonons/électrons – f).
Umklapp est un terme allemand signifiant retournement ("flipping over").
Figure 1 : Principales interaction intervenant sur les porteurs dans un cristal
La valeur de la conductivité thermique pour chaque matériau sera donnée dans la plage de température [200°K à 500°K] définie au début de ce chapitre. La conductivité thermique varie linéairement en fonction de la température du cristal. Nous verrons l'incidence de la température sur la conductivité thermique, pour en déduire une relation de dépendance qui sera implémentée dans les calculs thermiques du transistor. D'après les valeurs données au Tableau 1 concernant la conductivité thermique de certains matériaux purs, il est à noté que la conductivité thermique du silicium est 100 fois plus grande que celle du SiO2. Ceci signifie que la chaleur s'évacuera plus aisément par le silicium que par le dioxyde de silicium. Ce dernier agit comme un isolant thermique par rapport au silicium. Le cuivre est d'ailleurs meilleur conducteur thermique que l'aluminium.
Valeurs typiques de k
à 300°K
W.m-1.K-1 |
Silicium |
148 |
SiO2 |
1,4 |
Aluminium |
237 |
Cuivre |
401 |
Tableau 1 : Quelques valeurs typiques de cristaux purs à 300°K.
Nous avons vu précédemment que plusieurs phénomènes d'interactions sur les chargent peuvent intervenir et impliquer la réduction du libre parcours moyen, et donc de k. Un des processus de dispersion des charges concerne l'interaction des charges avec les frontières du cristal. Ce phénomène a lieu en permanence aux interfaces et devient prédominant lorsque l'épaisseur du cristal diminue. Lorsque le libre parcours moyen des porteurs Λ est de l'ordre de grandeur ou plus grand que la plus petite dimension du cristal, alors ces effets de bord impliquent une réduction environ de moitié de la conductivité thermique.
Pour les effets liés aux états de surface et aux dimensions en fonction du libre parcours moyen voir Singh.
Dans les métaux, ce sont essentiellement les électrons qui participent au transfert de la chaleur. L'écart entre la conductivité thermique liée aux électrons libre, ke, et celle liée aux phonons, kg, est donné par :
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n est la densité des électrons libres, N la densité des atomes, EF, l'énergie de Fermi de l'aluminium, ve la vitesse des électrons et v, la vitesse du son dans l'aluminium.
Dans un transistor où l’accès à ses broches s’effectue grâce à un contact en aluminium, et en supposant que le cristal est isotrope, au niveau des interfaces du cristal d'aluminium, une faible quantité d'impuretés peuvent être présentes. En effet, quelques atomes de silicium peuvent se mélanger à l'aluminium. Ceci aura pour effet de réduire le libre parcours moyen des électrons du cristal massif, et par conséquent, diminuer la conductivité thermique de l'aluminium. Ce phénomène est très localisé au niveau des interfaces Al/Si.
Dans les matériaux semi-conducteurs (silicium dopé mono- et poly-cristallin), le transport de la chaleur est assuré majoritairement par les phonons. L'action des électrons libres sur la conductivité thermique n'est plus négligeable pour des dispositifs fortement dopés ou avec des électrons à forte mobilité.
Les phonons sont les porteurs qui participent majoritairement au processus de conduction thermique dans l'oxyde de silicium ou SiO2, comme dans les dispositifs semi-conducteurs. Ainsi, comme nous l'avons vu précédemment, les interactions qui entrent en jeu dans le cas d'un semi-conducteur, interviendront également pour l'oxyde de silicium.
Pistes d'études possibles
Etude théorique
La conductivité thermique d’un matériau dépend d’un ensemble de processus d’interaction fonction de ce matériau et des porteurs d’énergie. Il sera possible de modéliser ces interactions, en déduire le comportement de différents cristaux qui interviennent dans la constitution de dispositifs tels que les MOSFET et enfin de comparer les résultats obtenues avec des valeurs issues de mesures prises dans la littérature.
Webographie
à venir...
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Sujet proposé par R. Daviot
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